笔记与习题：《集合论：对无穷概念的探索》（3）

第三章 实数的构造

3.1 自然数

定义：如果一个集合满足： 则称为归纳集

为的后继，从该定义出发，结合自然数的构造方式，可以得出所有自然数属于任何归纳集，也就是说，自然数集是任何归纳集的子集

所以有

定义：全体自然数的集合定义为： 的元素称为自然数

定理：是归纳集，并且是任何归纳集的子集

所以自然数集合是最小的归纳集，表示为 如果是自然数的某个子集，则上式称为归纳原理，即 上的归纳原理的另一形式：

令为一性质，则 即，0有性质，且蕴含 （从有性质可推出 有性质）

以上为自然数的定义部分

---

接下来考虑上的序

令 表示

讨论 的性质

引理：对所有自然数

① 且

②如果 ，则

③

④ 当且仅当

⑤如果 ，则

⑥如果 当且仅当

⑦

⑧ 当且仅当

定理： 是一个线序集

即正好表示了自然数的“自然”大小关系

所有可以有

定义：对 定义为 定义为

自然数的大小关系除了是线序外，还是**“良序”**

定义：集合上的线序如果还满足：的每一非空子集都有最小元。就称为良序。 称为良序集

第二归纳原理：令为一个性质。假设对所有的 ，如果对所有的 都有，那么对所有的自然数都成立

定理： 是良序集

证明：即证对的每一个非空子集，都有最小元。

假设没有最小元，考虑集合 ，假设对所有 ，那么一定属于 ，因为否则 ，但是比小的都不属于，所以是的最小元，与没有最小元矛盾。因此 ， ，矛盾。所以有最小元。

3.2 自然数上的递归定理与运算

自然数上的运算由“递归定义法”定义

这种定义为何合理？是否能唯一确定运算？

递归定理：对任意集合，任意 ，以及任意函数 ，存在唯一的函数 满足：

（1）

（2）对所有的

证明定理前，给出定义：

定义：序列是自然数或全体自然数的集合为定义域的函数。如果它的定义域是 ，则称为长度为的有穷序列

特别的，定义域为0的序列称为空序列；定义域为的序列称为无穷序列

表示方式：

有穷序列 无穷序列 空序列 由的元素组成的所有有穷序列的集合 有穷序列的值域 无穷序列的值域 递归定理的证明

首先，证明的存在性

任取序列 ，如果 而对所有的 ，就称其为基于和的**-近似**，定义 并且令

利用以上定义

①证明是函数，即证明是相容的函数系统

②证明 且

③证明满足递归定理的（1）和（2）

再证的唯一性

通常使用递归定理定义运算时，定理是带参数的

带参数的递归定理

令 和 为函数。存在唯一的函数 满足：

（1）对所有的 ，

（2）对任意 和 ，

现在开始定义自然数上的运算

以下的两个定理可看作递归定理的两个特例，分别“携带着”加法运算与乘法运算的信息

定理：存在唯一的函数 满足：

（1）对所有的

（2）对所有

定理：存在唯一的函数 满足：

（1）对所有的

（2）对所有

定义：自然数上的加法与乘法是如下定义的 到的函数：

加法： 且

乘法： 且

由加法与乘法的定义，可推出加法的交换、结合律，乘法的交换交换、结合、分配律

3.3 等势

数一数，这个集合里有多少元素？

定义：

如果存在一个以集合为定义域，以集合为值域的双射，就称集合和是等势的（即存在一一对应关系），用符号表示为

如果存在集合到集合的单射，就称**的势小于等于的势**，记为 ，意味着存在的子集使得

表示 但并非

练习：对任意集合，定义 当且仅当 。证明是一个等价关系

罗素曾定义的”基数“为等价类，这样的定义有什么问题？

（1）自反性：一个集合显然和自己等势

传递性：

与等势，即存在一个以集合为定义域，以集合为值域的双射，即集合中的元素与集合中的元素存在一一对应关系

与等势，即存在一个以集合为定义域，以集合为值域的双射，即集合中的元素与集合中的元素存在一一对应关系

所以集合中的元素与集合中的元素也存在一一对应关系，即与等势，传递性成立

对称性：与等势的话与等势，对称性显然成立

所以是一个等价关系

（2）如果定义的”基数“为等价类的话，也就是说 ，或者说，“与给定集合等价的所有集合的集合”。但是这样的话，能说 是一个集合吗？不能，它的上面没有“限制”，它不是集合而是一个真类，那么我们又该如何在集合论的背景下讨论它呢？这是这种定义法的问题。

康托-伯恩斯坦定理：如果 并且 ，则

证明的大致过程：首先将原命题转换为：对任意集合 即证：在 且存在到的双射的情况下，可以推出存在到的双射

令为由到的双射

令

对于每一，定义

这样，递归定义了两个集合的序列

因为 ，归纳可得

令 ，且

则 ，令

由于

因此

定义到的双射 $$ j(x)= \left{ \right.

$$ 显然该函数是一一对应的，只需证明它是到上的满射，就可证明它是到的双射

定义：对任何集合

（1）如果存在 ，使得 ，就称为有穷的

（2）如果对任意 ，都有 ，就称为无穷的

（3）如果 ，就称是可数的或可数无穷的

（4）有穷的或可数的集合称为至多可数的

（5）不是可数的无穷集合称为不可数的

有穷集合的性质

鸽笼原理：如果是自然数，则不存在到它的真子集 上的双射。所以对任意有穷集合，不存在到的真子集的双射

但对于无穷集合，这种映射存在，甚至这可以看作是无穷集合的定义

可数集合的性质

定理：每一无穷集合有一个可数子集

定理：两个可数集合的并是可数集合

推论：有穷个可数集合的并是可数的

定理：如果和是可数的，则 是可数的

推论：

（1）如果都是可数的，则是可数的

（2）如果都是可数的，则 是可数的。特别地，对任意 ，是可数的

（3）如果是可数的，则 是可数的

（4）如果是可数的，则的所有有穷子集组成的集合 $$

X={x\subseteq A|存在n,|x|=n} $$ 是可数的

一些没有使用自然数的对有穷的定义方式：

以下命题等价

（1）集合是有穷的

（2）存在上的线序满足的每一非空子集在下有最大元和最小元

（3）的每一非空子集族都有关系下的极大元

（4）是戴德金有穷的。即：不存在由到其真子集的一一映射。（定义：是戴德金无穷的当且仅当它不是戴德金有穷的）

3.4 整数与有理数

自然数对减法不是封闭的，扩大自然数到整数

定义：令是如下定义的集合 上的等价关系 整数集合定义为商集

练习：证明以上定义中的是 上的等价关系

自反性：显然对所有 ，

传递性：对所有 ，若 ， ，即 ，

综合两式可得：

即

对称性：对所有

若 ，即 ，显然有

定义上的序和运算

序：

加法：

乘法：

命题：对任意整数，存在唯一的整数，使得

这个唯一的记为，用 表示

定义绝对值的概念

对任意整数，的绝对值定义为 $$ |a|= \left{ \begin{array}{lr} a & 若a\geq_{\mathbb{Z}}0_{\mathbb{Z}},\ -a, & 若a<{\mathbb{Z}}0{\mathbb{Z}}。\ \end{array} \right.

$$ **可以嵌入中**，即：

定理：存在函数 ，满足：

（1）是单射，

（2）对任意 当且仅当

（3）对任意 并且

---

整数对除法不是封闭的，扩大整数到有理数

定义：令 。如果是集合 上的如下定义的等价关系 $$

(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)当且仅当a_1\cdot_{\mathbb{Z}}b_2=a_2\cdot_{\mathbb{Z}}b_1 $$ 则有理数集合就定义为商集

定义上的序和运算

序：

加法：

乘法：

命题：

（1）对任意有理数，存在唯一的有理数，使得

（2）对任意有理数，存在唯一的有理数，使得

这个唯一的记为，而记为

可以嵌入中，即：

定理：存在函数 ，满足：

（1）是单射，

（2）对任意 当且仅当

（3）对任意 并且

---

和整数集合和有理数集合有关的定理

定理：可数集合上的等价关系有至多可数个等价类

定理：整数集合和有理数集合是可数无穷的

---

有理数集合的一个性质

定义：线序集 是稠密的，如果它至少有两个元素，并且对任意 ，如果 ，则存在 满足

由以上定理与定义可知，有理数集合稠密且可数

同时，它也没有最大最小元

有：

定理：令 为可数的无端点稠密线序，则 与 同构

这个定理表明，有理数集合可以代表所有满足这三个条件（稠密，可数，无端点）的集合

使用往复法证明：

令 和 分别为一一序列，并且

定义：

对于线序集 和 ， 和 分别为它们的有穷子集。如果是到的双射，同时对任意 当且仅当 ，则称为 的 的局部同构

以下证明对于无端点稠密线序，任何局部同构都可进一步扩充

引理：假设 和 是无端点稠密线性序。如果是到的局部同构， 而 ，则存在局部同构 ，满足 且

对引理的证明：令 ，所以也有 。如果 ，则 或 或 。不论哪种情况，都取最小的使得与的关系与与的关系类似。也就是说： 因为 是稠密且无端点的，所以一定可以找到。显然 是局部同构，如果 ，则命题已经证明；否则，用同样的方法可以找到 使得 是局部同构

现在证明定理

递归定义部分同构的序列： 令 ，则 是同构

3.5 实数

有理数的缺陷：

定义：线序集 如果满足：对任意的非空子集，如果有上界，则在中有上确界，则称有最小上界性质

定理：有理数集合没有最小上界性质

与整数与有理数不同，实数不能表示为有理数的有序对，因为实数是不可数的，有理数的有序对是可数的

定义：如果集合 满足：

（1） 且

（2）是向下封闭的：如果 并且 ，则

（3）没有最大元：如果 ，则存在 ，

就称是戴德金分割。全体戴德金分割的集合称为，的元素又称为实数

定义实数上的序和运算，以及有关的一些定理

定义：实数集合上的序定义为： 当且仅当

定理：实数集合 有最小上界性质

定义：实数集合上的加法定义为：

命题：对任意实数，存在唯一实数，使得 ，这唯一的记为

定义：实数集合上的乘法定义为：如果 ，则 如果 或 ，则

其它情况使用如下方式转换为都大于0的情况 $$ x\cdot y= \left{ \right.

$$ **可以嵌入中** ，即：

定理：存在函数 ，满足：

（1）是单射，

（2）对任意 当且仅当

（3）对任意 并且

具有最小上界性质的稠密线序集被称为完备线序集

实数是完备线序集，它包含可数稠密子集（有理数集）

在中稠密——任何两个实数之间都有一个有理数

定理：任何包含可数稠密子集的无端点完备线序集都与 同构

3.6 不可数集合

区间套定理：设序列 是中的一个闭区间套，即

（1）每一都是中的闭区间

（2）对任意，

那么

定理（康托）：上的全体无穷序列组成的集合是不可数的

证明使用对角线法

通俗来说，就是对所有0与1组成的无穷序列，给它们依次编号

定义一个新的无穷序列，它的第一个数与编号为一的序列的第一个数不同，它的第二个数与编号为二的序列的第二个数不同……

这样定义出来的序列与这些序列里的任意一个都不同，也就是说上的全体无穷序列组成的集合是不可数的

定理：所有实数的集合是不可数的

证明：首先，定义一个实数子集的序列使其满足以下条件：

（1）

（2）是将中每个区间的中间三分之一开部分去掉，即中的每个被替换为两个闭区间

$$

L[a,b]=[a,a+\frac{1}{3}(b-a)]\R[a,b]=[a+\frac{2}{3}(b-a),b] $$ 所以有

考虑上一定理中，定义的所有01序列组成的集合，对每一 ，递归定义一个闭区间的序列 $$ F_{0}^{\delta}=C_0=[0,1]\ F_{n+1}^{\delta}= \left{ \right.

$$ 由归纳，对每一，是的一个长度为的闭区间

而且

由区间套定理可知，这一序列的交不空，又因为当趋向无穷时，的长度趋近0，所以这个交至多包含一个实数，令： $$

f(\delta)=\bigcap^{\infty}{n=0}F{n}^{\delta}中的唯一元素 C=\bigcap^{\infty}_{n=0}\mathcal{C}_n $$ 后者是所谓的康托集

这样，只要再证明是一一映射就可以证明实数不可数了

习题

1、证明： 并且不存在，使得 。因此，不存在

即证，包含于的后继，并且不存在，使得“夹”在与的后继之间，而且通过这个命题，可以得出两个自然数间不存在自然数的结论

，所以显然 成立

假设存在，使得 ，也就是说存在，使得

这显然不成立，前一个命题得证

现在从前一个命题推出后一个命题

由自然数的定义可知

又由自然数的一个引理：对所有自然数， 当且仅当

可以进一步转换为：

与前一命题相同

所以通过前一命题可以推出后一命题

2、证明对任意自然数，

因为

即证：是所有属于它的自然数组成的集合

对于空集的情况： （1）

由自然数的引理：对所有自然数， 且 ; 当且仅当

又因为已知为自然数

所以 成立**（2）**

由**（1）（2）**，归纳可得，对任意自然数， 成立

3、如果是有穷的，并且 ，则是有穷的。而且，

即证：有穷集合的子集仍是有穷集合，并且它的势小于原集合

对于前半句

令 ，将证明分为以下两部分：

1.如果 ，那么要么 ，要么在和 之间存在一个双射。

2.如果 ，则没有从到的双射。也就是鸽笼原理，这里省去证明过程

只证明第一部分：

通过递归定义 ；而

通过这种定义方式，要么定义出的是和之间的双射（ ），要么归纳过程在那之前中止，并且是（对于 ）和之间的双射（在和（对于 ）之间存在一个双射）。

第一部分证明完毕

前半句证明完毕，即有穷集合的子集仍是有穷集合

对于后半句

由势的定义， ，又因为 ，所以

4、如果是实数，则 是戴德金分割，因此实数加法的定义是合适的

因为是实数，所以都是戴德金分割，即：

且 且 ，并有：

和是向下封闭的：如果 或，并且 ，则 或

和没有最大元：如果 或，则存在 或，

对于 ，如果 且 且 ，那么显然 且 且 ，

证明 是向下封闭的：令为的上界，为的上界，所以 是 的上界，所以 是向下封闭的

证明 没有最大元：如果 ，那么 ，其中 ， 。那么中存在， ，中存在， ，所以 中存在 使 ，所以 没有最大元

5、证明闭区间套定理

令 是一个嵌套区间族，

即对于 ，有 或者

令

当 时，

当 时，选择 ，使是非空集 的一个上界

根据最小上界性质，令为的最小上界，那么根据定义，对于所有 有

如果 ，那么也是的一个上界，因此

因此，

所以不是空集