笔记与习题：《集合论：对无穷概念的探索》（4）

第四章 序数

序数概念是对自然数的推广：每个自然数都是有穷序数，本章将引进无穷序数

4.1 良序集

良序集最令人感兴趣的性质：任何两个良序集都可以比较势的大小

定义：令 为线序，是的子集，如果对每一 ，所有中小于的元素也都属于，就称是的前段。显然空集和都是的前段，不等于的前段称为真前段

引理：如果 是良序集并且是的真前段，则存在 ，满足

今后，如果 是良序集， ，我们就称 为由给定的的真前段

良序集与自然数：任何自然数都是的一个前段；每一自然数的前段是一个小于它的自然数

定义：线序集 到其自身的函数，如果满足 蕴涵 ，就称是**（严格）增函数**

增函数是一一的，并且是 到 的同构

引理：如果 是良序集， 是增函数，则对所有的 ，都有

推论：

（1）没有良构集同构于自己的真前段

（2）任意良序集都只有一个自同构，即等同函数

（3）如果和是同构的良序集，则它们之间的同构是唯一的

以下的定理具有根本的重要性，称为良序集基本定理

定理：如果 和 为良序集，则以下条件恰有一个成立：

（1）与同构

（2）与的前段同构

（3）与的前段同构

下面两个命题给出了两个良序集”相加“和”相乘“的直观

引理：令 和 为良序集，并且 ，则如下定义的 上的关系是良序： 称良序集 是 和 的和，记作 或

引理：令 和 为良序集，则如下定义的 上的关系是良序： 称良序集 是 和 的积，记作 或

4.2 序数

两个同构的良序集称为具有相同的序型

定义：如果集合的元素都是它的子集，则称为传递的（元素的元素都是元素）

定义：满足以下条件的集合称为序数：

（1）是传递的

（2）是上的良序

自然数集是序数，作为序数的记为，而且任意自然数都是序数

定义： ，称为的后继。如果 ，就称为后继序数；否则称为极限序数

显然第一个极限序数是，它也是第一个无穷序数。全体序数组成的序列的部分图示（）如下图：

序数的一些性质

引理：如果是序数，则的所有元素是序数，所以 是序数

引理：如果是序数，且 是传递集，则是序数，且 。特别地，对任意序数，如果 ，则

定理：令为序数

（1）对任意非空的序数集合，是序数，并且

（2）对任意序数的集合，是序数，并且

（3）序数间的关系具有良序性质，因此任意非空的序数集合都在下是良序集

定理：自然数恰好就是有穷序数

定理：每一良序集同构于唯一的一个序数（序数是“序型”的代表）

有了以上定理，可定义：

定义：假设是良序集，则它的序型就是与其同构的唯一的序数，记作，或

引理：对任意集合，存在一个序数，不与的任何子集等势，并且是具有如此性质的最小序数。称为的哈特格斯数

全体序数构成一个真类，今后记作 表示“是序数”

4.3 超穷归纳与递归

将归纳和递归拓展到序数

超穷归纳原理：令为一个性质。假设对所有的序数，都有 那么对所有的序数都成立

第二形式超穷归纳原理：令为一性质。假设：

（1）成立

（2）对所有后继序数，蕴涵着

（3）对所有极限序数 ，如果对所有 ，都成立，则成立

则对所有的都有

将序列的定义推广到序数上

定义：定义域为序数的函数称为长度为的序列（注：是真类，但也可以考虑定义域为的序列，它是一个“函数”）

超穷递归定理：假设 为函数，则存在唯一的函数 ，它满足对任意序数，

（这里表示一切集合构成的类）

带参数的超穷递归定理：假设 为函数，则存在运算 满足：对所有集合和序数，

带参数的超穷递归定理（Altar）：令为上的函数，则存在上的函数满足： 利用序数和超穷递归定义一个重要的类：

（1）

（2）

（3）对任意极限序数，

令

4.4 序数算术

定义：对所有序数，

（1）

（2）对任意序数

（3）对任意不为0的极限函数

如前所说，序数加法的集合论定义就是良序集的和，下面的定理证明了这一点

定理：令 ， 为良序集，分别与同构。令 是它们的和，则 与 同构

引理：

（1）如果和是序数，则 当且仅当

（2）对所有的序数和 当且仅当

（3）对所有的序数

定义序数的乘法

定义：所有序数

（1）

（2）对任意序数，

（3）对任意不为0的极限序数，

定理：对任意序数，序数 与集合 同构

定义序数的幂

定义：所有序数

（1）

（2）对任意序数

（3）对任意不为0的极限序数，

序数算术的一些基本性质

引理：对任意序数， 推论：对任意序数，如果 ，则存在唯一的序数使得

引理：对任意序数， 推论：对任意序数， ，存在唯一的序数的有序对， 并且

康托正则形式：任意一个非0的序数，都可以唯一地表示为的“多项式”展开： 以下定理是该结果的更为一般的形式

定理：令为序数，并且 且 ，则可以唯一地表示为以下形式： 其中 ，和都是序数，并且

4.5 古德斯坦定理

无穷序数算术在数论中的一个应用

九头蛇博弈：在第步，英雄砍掉蛇的一个头（分叉树上的一个顶部节点），如果把与相联的节点记作，与相联的下一层节点（向根部的方向）记作，则蛇会把以上与相联的（除了）部分复制遍，那么英雄是否有办法把蛇的头都砍光？

称 为27以2为底的展开式

称 为27以2为”超底“的展开式

令表示的以为底的展开式，但是将换为

定义：对任意自然数 是如下定义的函数：

由函数可定义一个新的函数，它将的展开式的底换为

定义：对任意自然数 是如下定义的函数：

引理：

（1）是增函数，即 蕴涵

（2）对任意自然数，

定义：对任意自然数 是如下定义的函数： $$ g_1(m)=m;\ g_{n+1}(m)= \left{ \right.

$$ 序列在最初增长的很快，但是古德斯坦定理断言，这一序列最终会收敛于

虽然看起来很匪夷所思，但是导致这一序列最终收敛于的正是递推式里”微乎其微“的“”

古德斯坦定理：对任意，存在 使得

4.6 选择公理

为了讨论选择公理，本节总是在中进行证明

定理：以下命题等价：

（1）对任意非空集合的族，

（2）对任意非空集合的族，如果 蕴涵 ，则存在集合，对每一

（3）对任意非空集合的族，存在函数，它满足对每一 ，其中称为选择函数

（4）（良序定理）每一集合上都存在一个良序

以上四个命题都可以称作选择公理（）

定理：以下命题等价：

（1）

（2）（豪斯道夫极大链条件）任何偏序集都存在一个极大链

（3）（佐恩引理）如果偏序集的每个链都有上界，则有极大元

举一些例子说明选择公理在数学中的影响

拓扑学：吉洪诺夫定理

拓扑学的基本概念

任意集合X上的一个拓扑是X的一个子集族，它满足：

（1） 并且

（2）中任意元素的并仍属于

（3）中有限元素的交仍属于

拓扑空间：一个指定了拓扑的集合称为拓扑空间，以表示以为拓扑的空间

开集：的元素称为开集

闭集：开集的补集称为闭集

闭包：对任意集合 ，表示包含的最小闭集，称为的闭包

内部： 表示所包含的最大开集，称为的内部

基：拓扑空间的开集族如果满足：任意开集 都可表示为中元素的并，则称为拓扑的基

第二可数的：一个拓扑空间称为第二可数的，如果它有一个可数的基

子基：拓扑空间的开集族如果满足：中元素有穷交的集合 是的基，就称是的子集

生成的拓扑：对集合的任意子集族，存在一个包含的最小的拓扑，称为生成的拓扑

连续的： 对任意拓扑空间，如果映射 满足任意开集的逆象也是开集，就称是连续的

开的（闭的）：如果满足每个开集（闭集）的象也是开集（闭集），就称是开的（闭的）

双连续的：一个开的连续函数称为双连续的

同胚：一个双连续的双射称为同胚

积拓扑：令为拓扑空间的族，令 。定义 ，其中 是投射函数，是上的拓扑。取 ，则以为子基，或者说，由这个生成的拓扑称为积拓扑

积空间：给定了这个拓扑的 称为积空间

覆盖：令为拓扑空间，如果为的子集族并且 ，就称为的覆盖

开覆盖：如果是覆盖并且 ，则称是开覆盖

子覆盖：如果覆盖也是的覆盖，则称是的子覆盖

紧致的：一个拓扑空间是紧致的当且仅当的每个开覆盖都有有穷子覆盖

引理：一个拓扑空间是紧致的当且仅当对任意的闭集族，如果有有穷交性质，则

定理：以下命题等价：

（1）

（2）（吉洪诺夫定理）任意紧致拓扑空间的积空间还是紧致的

实分析：实数集存在不可测子集

的每个区间都有长度，而测度是对长度的推广，以适用于更复杂的的子集

长度：从所有区间的族到中的一个函数 ，若 ，则 。

应满足：

（1）

（2）可数可加性：对任意可数个区间的族

（3）平移不变性：若 且 ，则 ，其中

外测度：如下定义的函数： ： $$

\mu^{*}(X)=inf\left { \sum_{i\geq 1}l(I_i)|(I_i)_{i \geq 1}是X的一个覆盖 \right } $$ 事实上在选择公理下，同时满足上面三个条件的测度是不存在的（外测度没有可数可加性）

为改进这一点，定义：

一个集合 是可测的，当且仅当对任意集合 ，都有： 勒贝格测度：而所谓勒贝格测度，就是外测度到全体可测集上的限制，记为

（测度 具有可数可加性）

引理：假设选择公理成立。如果 ，并且的所有子集都是可测的，则

定理：如果选择公理成立，则存在

4.7 习题

1、是良序集， ，则

（1）与同构当且仅当

（2）是 的前段当且仅当

（3）如果 是的最小元，则与 同构

意为“由给定的的真前段”，意为“由给定的的真前段”，由良序集基本定理，（1）（2）显然成立

现证明（3）

假设不与 同构

也就是说，并上的这个，对有”贡献“

而

且是的最小元，所以为空集

显然与 同构

所以假设不成立，原命题得证

2、集合是传递集当且仅当 ，当且仅当

① 集合是传递集

设传递集，设 ，（或等价地 ）

那么对于任意 ，有 ，所以 ，（或等价地 ）

所以 。

所以是传递集

又因为 ，所以

集合是传递集 ，证毕

设集合

由幂集定义得，

所以集合是传递集

集合是传递集，证毕

②集合是传递集

设传递集，则由传递集定义（如果集合的元素都是它的子集，则称为传递的）显然有：

集合是传递集 证毕

设，有 ，对任意 ，有

又因为 ，所以有

所以是传递集

集合是传递集，证毕

4、序数是自然数当且仅当的所有非空子集都有最大元

先证序数每一非空子集都有一最大元序数是自然数

即证 .

假设 ,则有非空子集没有最大元，矛盾.

再证序数是自然数序数每一非空子集都有一最大元

假设有自然数，它的一非空子集没有最大元

那么

但是自然数恰好是有穷序数，矛盾

原命题成立

5、证明任何序数都可表示为 ，其中是或者极限序数，而 。并且这种表示是唯一的

设序数

①当为时，显然 ，有唯一表示

②当为后继序数时，显然 ，有唯一表示

③当为无穷序数时，显然 ，有唯一表示

6、证明：

（1） $$

\begin{aligned}

\omega+\omega^2 &=(1+\omega)\cdot\omega&&序数乘法分配律\ &=\omega^2

\end{aligned}

$$ 由于序数乘法分配律并不显然，这里将对其进行证明：

要证：

对进行超穷归纳，有归纳假设： 。讨论

①当 时， 显然成立

②当为后继序数时， $$

\begin{aligned}

\alpha\cdot(\beta+\gamma^+)&=\alpha\cdot(\beta+\gamma)^+\ &=\alpha\cdot(\beta+\gamma)+\alpha\ &=(\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma)+\alpha&&归纳假设\ &=\alpha\cdot\beta+(\alpha\cdot\gamma+\alpha)&&序数加法结合律\ &=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma^+ \end{aligned}

$$ （序数加法结合律也不显然，将在下文证明）

③当是无穷序数时

对任意序数 ，(存在 使得 )

而 ，(存在 使得 )

所以

另一方面，对任意 ，(存在 使得 )

而 ，(存在 使得 )

所以

序数加法结合律的证明：

要证：

对进行超穷归纳，有归纳假设： 。讨论

①当 时， 显然成立

②当为后继序数时， $$

\begin{aligned}

(\alpha+\beta)+\gamma^+&=(\alpha+\beta+\gamma)^+\ &= (\alpha + (\beta + \gamma))^+\

\end{aligned}

（思路：sup {(\alpha + \beta) + \xi | \xi \in \gamma} = sup {\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma}

\由归纳假设：

\sup {\alpha + (\beta + \xi) | \xi \in \gamma} = sup {\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma}） $$ 即证 ：

对任意 ，(存在 使得 )

由 ，得 ，结合 ，即得

另一方面，对任意 ，(存在 使得 )

又因为为非零极限， ，(存在 使得 )

由 得 ， ，结合 ，即得 。

（2）如果 ，则

令 $$

\begin{aligned}

\omega+\beta=&\omega+\omega^2+\alpha\ =&(1+\omega)\cdot\omega+\alpha\ =&\omega^2+\alpha=\beta

\end{aligned}

\begin{aligned}

(\omega\cdot2)^2 &=(\omega\cdot2)\cdot(\omega\cdot2)\ &=(\omega+\omega)\cdot(\omega+\omega)\ &=\omega\cdot2\cdot\omega\cdot2\ &=\omega\cdot(2\cdot\omega)\cdot2&&序数乘法结合律\ &=\omega\cdot\omega\cdot2\ne\omega^2\cdot2^2=\omega^2\cdot4

\end{aligned}

$$ 由于序数乘法结合律并不显然，这里将对其进行证明：

要证：

对进行超穷归纳，有归纳假设： 。讨论

①当 时， 显然成立

②当为后继序数时， $$

(思路：sup {(\alpha \cdot \beta) \cdot \xi | \xi \in \gamma} = sup {\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma}\

sup {\alpha \cdot (\beta \cdot \xi) | \xi \in \gamma} = sup {\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma}) $$ 对任意 ，(存在 使得 )

由 ，得 ，结合 ，即得

另一方面，对任意 ，(存在 使得 )

又因为为非零极限， ，存在 使得

由 ，

由“序数传递”， ，结合 ，即得

8、证明以下命题是选择公理的等价形式 $$

\forall x\exists \alpha\in O_n\exists f(f是函数\wedge x\subset dom(f)=\alpha\wedge x\subset ran(f)) $$

本命题

对于序数 ，定义 ，可知是非空的

此时存在 使得

易知

①是函数

②函数的任意 ，因为

③函数的任意 ，因为可写作，又因为 ，所以

又因为良序集基本定理，可得函数的任意

本命题

对集合族（的元素为序数），有 ，定义

定义上的二元关系当且仅当

则存在函数满足 并且是的子集，此时 并且

以上的构造满足了是函数， ，

并且满足了是上的选择函数，证毕

附：一篇有趣的文章

http://zhblog.engic.org/20141003-015609/

这篇文章模仿GEB，同过阿基里斯与乌龟的对话来讲述序数（还有基数）