笔记与习题：《集合论：对无穷概念的探索》（4）

第四章 序数

序数概念是对自然数的推广：每个自然数都是有穷序数，本章将引进无穷序数

4.1 良序集

良序集最令人感兴趣的性质：任何两个良序集都可以比较势的大小

定义：令$(L,<)$为线序，$S$是$L$的子集，如果对每一$a\in S$，所有$L$中小于$a$的元素也都属于$S$，就称$S$是$L$的前段。显然空集和$L$都是$L$的前段，不等于$L$的前段称为真前段

引理：如果$(W,<)$是良序集并且$S$是$W$的真前段，则存在$a\in W$，满足$S=\{x\in W|x<a\}$

今后，如果$(W,<)$是良序集，$a\in W$，我们就称$W[a]=\{x\in W|x<a\}$为由$a$给定的$W$的真前段

良序集与自然数：任何自然数都是$\mathbb{N}$的一个前段；每一自然数的前段是一个小于它的自然数

定义：线序集$(L,<)$到其自身的函数$f$，如果满足$x_1<x_2$蕴涵$f(x_1)<f(x_2)$，就称$f$是（严格）增函数

增函数是一一的，并且是$(L,<)$到$(ran(f),<)$的同构

引理：如果$(W,<)$是良序集，$f:W\rightarrow W$是增函数，则对所有的$x\in W$，都有$f(x)\geq x$

推论：

（1）没有良构集同构于自己的真前段

（2）任意良序集都只有一个自同构，即等同函数

（3）如果$W_1$和$W_2$是同构的良序集，则它们之间的同构是唯一的

以下的定理具有根本的重要性，称为良序集基本定理

定理：如果$(W_1,<_1)$和$(W_2,<_2)$为良序集，则以下条件恰有一个成立：

（1）$W_1$与$W_2$同构

（2）$W_1$与$W_2$的前段同构

（3）$W_2$与$W_1$的前段同构

下面两个命题给出了两个良序集”相加“和”相乘“的直观

引理：令$(W_1,<_1)$和$(W_2,<_2)$为良序集，并且$W_1\cap W_2=\emptyset$，则如下定义的$W=W_1\cup W_2$上的关系$<$是良序：

$$u<v当且仅当u,v\in W_1\wedge u<_1 v\\ 或者u,v\in W_2\wedge u<_2 v\\ 或者u\in W_1,v\in W_2$$

称良序集$(W,<)$是$(W_1,<_1)$和$(W_2,<_2)$的和，记作$(W_1,<_1)+(W_2,<_2)$或$(W_1\cup W_2,<_1+<_2)$

引理：令$(W_1,<_1)$和$(W_2,<_2)$为良序集，则如下定义的$W=W_1\times W_2$上的关系$<$是良序：

$$(u_1,u_2)<(v_1,v_2)当且仅当u_2<_2v_2或者u_2=v_2并且u_1<_1v_1$$

称良序集$(W,<)$是$(W_1,<_1)$和$(W_2,<_2)$的积，记作$(W_1,<_1)\times(W_2,<_2)$或$(W_1\times W_2,<_1\times<_2)$

4.2 序数

两个同构的良序集称为具有相同的序型

定义：如果集合$T$的元素都是它的子集，则$T$称为传递的（元素的元素都是元素）

定义：满足以下条件的集合$\alpha$称为序数：

（1）$\alpha$是传递的

（2）$\in$是$\alpha$上的良序

自然数集$\mathbb{N}$是序数，作为序数的$\mathbb{N}$记为$\omega$，而且任意自然数$n$都是序数

定义：$\alpha+1=\alpha^{+}$，称为$\alpha$的后继。如果$\alpha=\beta+1$，就称$\alpha$为后继序数；否则$\alpha$称为极限序数

显然第一个极限序数是$\omega$，它也是第一个无穷序数。全体序数组成的序列的部分图示（$\omega^{\omega}$）如下图：

序数的一些性质

引理：如果$\alpha$是序数，则$\alpha$的所有元素是序数，所以$\alpha=\{\beta|\beta<\alpha\wedge\beta\}$是序数

引理：如果$\alpha$是序数，且$B\subseteq \alpha$是传递集，则$B$是序数，且$B\in \alpha$。特别地，对任意序数$\alpha,\beta$，如果$\beta\subseteq\alpha$，则$\beta\in\alpha$

定理：令$\alpha,\beta,\gamma$为序数

（1）对任意非空的序数集合$X$，$\bigcap X$是序数，并且$\bigcap X=inf(x)$

（2）对任意序数的集合$X$，$\bigcup X$是序数，并且$\bigcup X=sup(x)$

（3）序数间的$<$关系具有良序性质，因此任意非空的序数集合都在$<$下是良序集

定理：自然数恰好就是有穷序数

定理：每一良序集同构于唯一的一个序数（序数是“序型”的代表）

有了以上定理，可定义：

定义：假设$(X,R)$是良序集，则它的序型就是与其同构的唯一的序数，记作$type(X,R)$，或$type(X)$

引理：对任意集合$X$，存在一个序数$H(X)$，$H(X)$不与$X$的任何子集等势，并且是具有如此性质的最小序数。$H(X)$称为$X$的哈特格斯数

全体序数构成一个真类，今后记作$O_n,x\in O_n$表示“$x$是序数”

4.3 超穷归纳与递归

将归纳和递归拓展到序数

超穷归纳原理：令$\varphi(x)$为一个性质。假设对所有的序数$\alpha$，都有

$$如果对所有的\beta<\alpha都有\varphi(\alpha),$$

那么$\varphi(\alpha)$对所有的序数$\alpha$都成立

第二形式超穷归纳原理：令$\varphi(x)$为一性质。假设：

（1）$\varphi(0)$成立

（2）对所有后继序数$\alpha$，$\varphi(\alpha)$蕴涵着$\varphi(\alpha+1)$

（3）对所有极限序数$\alpha\ne 0$，如果对所有$\beta<\alpha$，$\varphi(\beta)$都成立，则$\varphi(\alpha)$成立

则对所有的$\alpha$都有$\varphi(\alpha)$

将序列的定义推广到序数上

定义：定义域为序数$\alpha$的函数称为长度为$\alpha$的序列（注：$O_n$是真类，但也可以考虑定义域为$O_n$的序列，它是一个“函数”）

超穷递归定理：假设$G:V\rightarrow V$为函数，则存在唯一的函数$F:O_n\rightarrow V$，它满足对任意序数$\alpha$，$F(\alpha)=G(F\upharpoonright\alpha)$

（这里$V$表示一切集合构成的类）

带参数的超穷递归定理：假设$G:V\rightarrow V$为函数，则存在运算$F:V\times O_n\rightarrow V$满足：对所有集合$z$和序数$\alpha$，$F(z,\alpha)=G(F_z\upharpoonright\alpha)$

带参数的超穷递归定理（Altar）：令$G_1,G_2,G_3$为$V$上的函数，则存在$O_n$上的函数$F$满足：

$$F(0)=G_1(\emptyset)\\ F(\alpha+1)=G_2(F(\alpha))\\ F(\alpha)=G_3(F\upharpoonright\alpha);对所有的极限\alpha$$

利用序数和超穷递归定义一个重要的类：$WF$

（1）$V_0=\emptyset$

（2）$V_{\alpha+1}=\mathcal{P}(V_{\alpha})$

（3）对任意极限序数$\lambda$，$V_{\lambda}=\bigcup_{\beta<\lambda}V_{\beta}$

令$WF=\bigcup_{\alpha\in O_n} V_{\alpha}$

4.4 序数算术

定义：对所有序数$\beta$，

（1）$\beta+0=\beta$

（2）对任意序数$\alpha,\beta+(a+1)=(\beta+\alpha)+1$

（3）对任意不为0的极限函数$\alpha,\beta+\alpha=sup\{\beta+\gamma|\gamma<\alpha\}$

如前所说，序数加法的集合论定义就是良序集的和，下面的定理证明了这一点

定理：令$(W_1,<_1)$，$(W_2,<_2)$为良序集，分别与$\alpha_1,\alpha_2$同构。令$(W,<)=(W_1\cup W_2,<_1+<_2)$是它们的和，则$(W,<)$与$\alpha_1+\alpha_2$同构

引理：

（1）如果$\alpha_1,\alpha_2$和$\beta$是序数，则$\beta+\alpha_1<\beta+\alpha_2$当且仅当$\alpha_1<\alpha_2$

（2）对所有的序数$\alpha_1,\alpha_2$和$\beta,\beta+\alpha_1=\beta+\alpha_2$当且仅当$\alpha_1=\alpha_2$

（3）对所有的序数$\alpha,\beta,\gamma,(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$

定义序数的乘法

定义：所有序数$\beta$

（1）$\beta\cdot 0=0$

（2）对任意序数$\alpha$，$\beta\cdot(\alpha+1)=\beta\cdot\alpha+\beta$

（3）对任意不为0的极限序数$\alpha$，$\beta\cdot\alpha=sup\{\beta\cdot\gamma|\gamma<\alpha\}$

定理：对任意序数$\alpha,\beta$，序数$\alpha\cdot\beta$与集合$\alpha\times\beta$同构

定义序数的幂

定义：所有序数$\beta$

（1）$\beta^0=1$

（2）对任意序数$\alpha,\beta^{\alpha+1}=\beta^{\alpha}$

（3）对任意不为0的极限序数$\alpha$，$\beta^{\alpha}=sup\{\beta^{\gamma}|\gamma<\alpha\}$

序数算术的一些基本性质

引理：对任意序数$\alpha,\beta$，

$$\alpha+\beta=\alpha\cup\{\alpha+\delta|\delta<\beta\}$$

推论：对任意序数$\alpha,\beta$，如果$\alpha<\beta$，则存在唯一的序数$\gamma$使得$\alpha+\gamma=\beta$

引理：对任意序数$\alpha,\beta$，

$$\alpha\cdot\beta=\{\alpha\cdot\xi+\eta|\xi<\beta并且\eta<\alpha\}$$

推论：对任意序数$\alpha,\beta$，$1\leq\alpha<\beta$，存在唯一的序数的有序对$(\xi,\eta)$，$\eta<\alpha$ 并且$\beta=\alpha\cdot\xi+\eta$

康托正则形式：任意一个非0的序数$\beta$，都可以唯一地表示为$\omega$的“多项式”展开：

$$\beta=\omega^{\gamma_0}\cdot\delta_0+\dots+\omega^{\gamma_{k-1}}\cdot\delta_{k-1}$$

以下定理是该结果的更为一般的形式

定理：令$\alpha,\beta$为序数，并且$1<\alpha$且$1\leq \beta$，则$\beta$可以唯一地表示为以下形式：

$$\beta=\alpha^{\gamma_0}\cdot\delta_0+\dots+\alpha^{\gamma_{k-1}}\cdot\delta_{k-1}$$

其中$k\in \omega$ ，$\delta_i$和$\gamma_i$都是序数，并且$\gamma_0>\dots>\gamma_{k-1}$

4.5 古德斯坦定理

无穷序数算术在数论中的一个应用

九头蛇博弈：在第$n$步，英雄砍掉蛇的一个头（分叉树上的一个顶部节点$x$），如果把与$x$相联的节点记作$y$，与$y$相联的下一层节点（向根部的方向）记作$z$，则蛇会把$z$以上与$y$相联的（除了$x$）部分复制$n$遍，那么英雄是否有办法把蛇的头都砍光？

称$27=2^4+2^3+2^1+2^0$为27以2为底的展开式

称$27=2^{(2^2)}+2^{(2^1+1)}+2^1+2^0$为27以2为”超底“的展开式

令$S_{n}(k)$表示$k$的以$n$为底的展开式，但是将$n$换为$n+1$

定义：对任意自然数$n\geq 2,S_n$是如下定义的函数：

$S_n(m)=m \qquad若m<n,$

$S_n(m)=k\cdot(n+1)^{S_n(t)}+S_n(b) \quad若m\geq n并且m=k\cdot n^t+b,(k<n,b<n^t,t\geq 1)$

由函数$S_n$可定义一个新的函数$f_n$，它将$m$的展开式的底换为$\omega$

定义：对任意自然数$n\geq 2,f_n$是如下定义的函数：

$f_n(k)=k \qquad若k<n,$

$f_n(m)=\omega^{f_n(t)}\cdot k+f_n(b) \quad若m\geq n并且m=k\cdot n^t+b,(k<n,b<n^t,t\geq 1)$

引理：

（1）$f_n$是增函数，即$k<m$蕴涵$f_n(k)<f_n(m)$

（2）对任意自然数$n,m$，$n\geq 2,f_{n+1}(S_n(m))=f_n(m)$

定义：对任意自然数$n\geq 1,g_n$是如下定义的函数：

$$g_1(m)=m;\\ g_{n+1}(m)=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} S_{n+1}(g_n(m))-1 & 若g_n(m)>0;\\ 0, & 否则。\\ \end{array} \right. \end{equation}$$

序列$\langle g_n(m)\rangle_{1\leq n<\omega}$在最初增长的很快，但是古德斯坦定理断言，这一序列最终会收敛于$0$

虽然看起来很匪夷所思，但是导致这一序列最终收敛于$0$的正是$g_{n+1}$递推式里”微乎其微“的“$-1$”

古德斯坦定理：对任意$m$，存在$n\geq 1$使得$g_n(m)=0$

4.6 选择公理

为了讨论选择公理，本节总是在$ZF$中进行证明

定理：以下命题等价：

（1）对任意非空集合的族$(X_i)_{i\in I}$，$\Pi_{i\in I}X_i\ne\emptyset$

（2）对任意非空集合的族$(X_i)_{i\in I}$，如果$i\ne j$蕴涵$X_i\cap X_i=\emptyset$，则存在集合$S$，对每一$i\in I,|S\cap X_i|=1$

（3）对任意非空集合的族$(X_i)_{i\in I}$，存在函数$f$，它满足对每一$i\in I,f(X_i)\in X_i$，其中$f$称为选择函数

（4）（良序定理）每一集合上都存在一个良序

以上四个命题都可以称作选择公理（$AC_1,AC_2,AC_3,WO$）

定理：以下命题等价：

（1）$AC$

（2）（豪斯道夫极大链条件）任何偏序集都存在一个极大链

（3）（佐恩引理）如果偏序集$X$的每个链都有上界，则$X$有极大元

举一些例子说明选择公理在数学中的影响

拓扑学：吉洪诺夫定理

拓扑学的基本概念

任意集合X上的一个拓扑$\mathcal{T}$是X的一个子集族，它满足：

（1）$\emptyset\in\mathcal{T}$并且$X\in\mathcal{T}$

（2）$\mathcal{T}$中任意元素的并仍属于$\mathcal{T}$

（3）$\mathcal{T}$中有限元素的交仍属于$\mathcal{T}$

拓扑空间：一个指定了拓扑的集合$X$称为拓扑空间，以$(X,\mathcal{T})$表示以$\mathcal{T}$为拓扑的空间

开集：$\mathcal{T}$的元素称为开集

闭集：开集的补集称为闭集

闭包：对任意集合$Y\subseteq X$，$cl(Y)$表示包含$Y$的最小闭集，称为$Y$的闭包

内部：$int(Y)$ 表示$Y$所包含的最大开集，称为$Y$的内部

基：拓扑空间$(X,\mathcal{T})$的开集族$\mathcal{B}$如果满足：任意开集$U\in \mathcal{T}$都可表示为$\mathcal{B}$中元素的并，则称$\mathcal{B}$为拓扑$\mathcal{T}$的基

第二可数的：一个拓扑空间称为第二可数的，如果它有一个可数的基

子基：拓扑空间$(X,\mathcal{T})$的开集族$\mathcal{S}$如果满足：$\mathcal{S}$中元素有穷交的集合$\{\bigcap_{i=0}^{n}S_i|S_i\in S\wedge n\in \mathbb{N}\}$是$\mathcal{T}$的基，就称$\mathcal{S}$是$\mathcal{T}$的子集

生成的拓扑：对集合$X$的任意子集族$\mathcal{S}$，存在一个包含$\mathcal{S}$的最小的拓扑$\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$，称为$\mathcal{S}$生成的拓扑

连续的： 对任意拓扑空间$X,Y$，如果映射$f:X\rightarrow Y$满足任意开集的逆象也是开集，就称$f$是连续的

开的（闭的）：如果$f$满足每个开集（闭集）的象也是开集（闭集），就称$f$是开的（闭的）

双连续的：一个开的连续函数称为双连续的

同胚：一个双连续的双射称为同胚

积拓扑：令$(X_i)_{i\in I}$为拓扑空间的族，令$X=\Pi_{i\in I}X_i$。定义$S_i=\{p_i^{-1}[U_i]|U_i\in\mathcal{T}_i\}$，其中$p_i:\Pi_{i\in I} X_i\rightarrow X_i$是投射函数，$\mathcal{T}_i$是$X_i$上的拓扑。取$\mathcal{S}=\bigcup_{i\in I}\mathcal{S}_i$，则以$\mathcal{S}$为子基，或者说，由这个$\mathcal{S}$生成的拓扑$\mathcal{T}$称为积拓扑

积空间：给定了这个拓扑的$X=\Pi_{i\in I}X_i$称为积空间

覆盖：令$(X,\tau)$为拓扑空间，如果$\mathcal{C}$为$X$的子集族并且$\bigcup\mathcal{C}=X$，就称$\mathcal{C}$为$X$的覆盖

开覆盖：如果$\mathcal{C}$是覆盖并且$\mathcal{C}\subseteq\mathcal{T}$，则称$\mathcal{C}$是开覆盖

子覆盖：如果覆盖$\mathcal{C}_0$也是$X$的覆盖，则称$\mathcal{C}_0$是$\mathcal{C}$的子覆盖

紧致的：一个拓扑空间是紧致的当且仅当$X$的每个开覆盖都有有穷子覆盖

引理：一个拓扑空间是紧致的当且仅当对任意$X$的闭集族$\mathcal{C}$，如果$\mathcal{C}$有有穷交性质，则$\bigcap \mathcal{C}\ne\emptyset$

定理：以下命题等价：

（1）$AC$

（2）（吉洪诺夫定理）任意紧致拓扑空间的积空间还是紧致的

实分析：实数集存在不可测子集

$\mathbb{R}$的每个区间都有长度，而测度是对长度的推广，以适用于更复杂的$\mathbb{R}$的子集

长度：从所有区间的族$\mathcal{I}$到$\mathbb{R}$中的一个函数$l:\mathcal{I}\rightarrow \mathbb{R}\cup\{\infty\}$，若$I=[a,b]$，则$l(I)=b-a$。

应满足：

（1）$l(\emptyset)=0;l(\mathbb{R})=\infty$

（2）可数可加性：对任意可数个区间的族$(I_i)_{i\in\omega},l(\bigcup_{i\in\omega}I_n)=\sum_{i\in\omega}l(I_n)$

（3）平移不变性：若$a\in \mathbb{R}$且$I\subset\mathbb{R}$，则$l(I+a)=l(I)$，其中$I+a=\{x+a|x\in I\}$

外测度：如下定义的函数：$\mu^{*}:\mathcal{P}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$：

$$\mu^{*}(X)=inf\left \{ \sum_{i\geq 1}l(I_i)|(I_i)_{i \geq 1}是X的一个覆盖 \right \}$$

事实上在选择公理下，同时满足上面三个条件的测度是不存在的（外测度没有可数可加性）

为改进这一点，定义：

一个集合$X\subseteq \mathbb{R}$是可测的，当且仅当对任意集合$T\subseteq \mathbb{R}$，都有：

$$\mu^{*}(T)=\mu^{*}(T\cap X)+\mu^{*}(T\cap (\mathbb{R}-X))$$

勒贝格测度：而所谓勒贝格测度，就是外测度到全体可测集$\mathcal{M}$上的限制，记为$\mu$

（测度$\mu:\mathcal{M}\rightarrow\mathbb{R}$具有可数可加性）

引理：假设选择公理成立。如果$X\subseteq \mathbb{R}$，并且$X$的所有子集都是可测的，则$\mu(X)=0$

定理：如果选择公理成立，则存在$X\subseteq\mathbb{R},X\notin\mathcal{M}$

4.7 习题

1、$W$是良序集，$w_1,w_2\in W$，则

（1）$W[w_1]$与$W[w_2]$同构当且仅当$w_1=w_2$

（2）$W[w_1]$是$W[w_2]$ 的前段当且仅当$w_1\leq w_2$

（3）如果$W_2\ne\emptyset ,w_2$是$W_2$的最小元，则$W_1$与$W_1\cup W_2[w_2]$同构

$W[w_1]$意为“由$w_1$给定的$W$的真前段”，$W[w_2]$意为“由$w_2$给定的$W$的真前段”，由良序集基本定理，（1）（2）显然成立

现证明（3）

假设$W_1$不与$W_1\cup W_2[w_2]$同构

也就是说，并上的这个$W_2[w_2]$，对$W_1$有”贡献“

而$W_2[w_2]=\{x\in W_2|x<w_2\}$

且$w_2$是$W_2$的最小元，所以$W_2[w_2]$为空集

$W_1$显然与$W_1\cup \emptyset$同构

所以假设不成立，原命题得证

2、集合$X$是传递集当且仅当$X\subseteq\mathcal{P}(X)$，当且仅当$\bigcup X\subseteq X$

① 集合$X$是传递集$\leftrightarrow X\subseteq\mathcal{P}(X)$

设传递集$X$，设$Y\in \mathcal{P}(X)$，（或等价地$Y\subseteq X$）

那么对于任意$a\in Y$，有$a\in X$，所以$a\subseteq X$，（或等价地$a\in\mathcal{P}(X)$）

所以$Y\subseteq\mathcal{P}(X)$。

所以$\mathcal{P}(X)$是传递集

又因为$X\in \mathcal{P}(X)$，所以$X\subseteq\mathcal{P}(X)$

集合$X$是传递集$\rightarrow X\subseteq\mathcal{P}(X)$，证毕

设集合$X\subseteq\mathcal{P}(X)$

由幂集定义得，$X\in \mathcal{P}(X)$

所以集合$X$是传递集

$X\subseteq\mathcal{P}(X)\rightarrow $集合$X$是传递集，证毕

②集合$X$是传递集$\leftrightarrow \bigcup X\subseteq X$

设传递集$X$，则由传递集定义（如果集合$X$的元素都是它的子集，则$X$称为传递的）显然有：$\bigcup X\subseteq X$

集合$X$是传递集$\rightarrow \bigcup X\subseteq X$证毕

设$X$，有$\bigcup X\subseteq X$，对任意$x\in X$，有$x\subseteq \bigcup X$

又因为$\bigcup X\subseteq X$，所以有$x\subseteq X$

所以$X$是传递集

$ \bigcup X\subseteq X\rightarrow$集合$X$是传递集，证毕

4、序数$\alpha$是自然数当且仅当$\alpha$的所有非空子集都有最大元

先证序数$\alpha$每一非空子集都有一最大元$\rightarrow$序数$\alpha$是自然数

即证$\alpha<\omega$.

假设$\alpha\geq \omega$,则$\alpha$有非空子集$\omega$没有最大元，矛盾.

再证序数$\alpha$是自然数$\rightarrow$序数$\alpha$每一非空子集都有一最大元

假设有自然数$\beta$，它的一非空子集没有最大元

那么$\beta\geq\omega$

但是自然数恰好是有穷序数，矛盾

原命题成立

5、证明任何序数都可表示为$\alpha+n$，其中$\alpha$是$0$或者极限序数，而$n\in\omega$。并且这种表示是唯一的

设序数$\beta$

①当$\beta$为$0$时，显然$\alpha=0,n=0$，有唯一表示

②当$\beta$为后继序数时，显然$\alpha=0,n=\beta\in\omega$，有唯一表示

③当$\beta$为无穷序数时，显然$\alpha=\beta,n=0$，有唯一表示

6、证明：

（1）$\omega+\omega^2=\omega^2$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \omega+\omega^2 &=(1+\omega)\cdot\omega&&序数乘法分配律\\ &=\omega^2 \end{aligned} \end{equation}$$

由于序数乘法分配律并不显然，这里将对其进行证明：

要证：$\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma$

对$\gamma$进行超穷归纳，有归纳假设：$\forall x \in \gamma, \alpha \cdot (\beta + x) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot x$。讨论$\gamma$

①当$\gamma=0$时，$\alpha\cdot(\beta+0)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot0$显然成立

②当$\gamma$为后继序数时，

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha\cdot(\beta+\gamma^+)&=\alpha\cdot(\beta+\gamma)^+\\ &=\alpha\cdot(\beta+\gamma)+\alpha\\ &=(\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma)+\alpha&&归纳假设\\ &=\alpha\cdot\beta+(\alpha\cdot\gamma+\alpha)&&序数加法结合律\\ &=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma^+ \end{aligned} \end{equation}$$

（序数加法结合律也不显然，将在下文证明）

③当$\gamma$是无穷序数时

对任意序数$\xi\in\alpha\cdot(\beta+\gamma)=sup\{\alpha\cdot\delta|\delta\in\beta+\gamma\}$，(存在$\delta \in \beta + \gamma$使得$\xi \in \alpha \cdot \delta$)

而$\delta \in \beta + \gamma = sup \{\beta + \varepsilon | \varepsilon \in \gamma\}$，(存在$ε ∈ γ$使得$δ ∈ β + ε$)

所以$\xi \in \alpha \cdot \delta \in \alpha \cdot (\beta + \varepsilon) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \varepsilon \in \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$

另一方面，对任意$\xi \in \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma = sup \{\alpha \cdot \beta + \delta | \delta \in \alpha \cdot \gamma\}$，(存在$\delta \in \alpha \cdot \gamma$使得$\xi \in \alpha \cdot \beta + \delta$)

而$\delta \in \alpha \cdot \gamma = sup \{\alpha \cdot \varepsilon | \varepsilon \in \gamma\}$，(存在$\varepsilon \in \gamma$使得$\delta \in \alpha \cdot \varepsilon$)

所以$\xi \in \alpha \cdot \beta + \delta \in \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \varepsilon = \alpha \cdot (\beta + \varepsilon) \in \alpha \cdot (\beta + \gamma)$

序数加法结合律的证明：

要证：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$

对$\gamma$进行超穷归纳，有归纳假设：$\forall x \in \gamma, (\alpha + \beta) + x = \alpha + (\beta + x)$。讨论$\gamma$

①当$\gamma = 0$时，$(\alpha + \beta) + 0 = \alpha + (\beta + 0)$显然成立

②当$\gamma$为后继序数时，

$$\begin{equation} \begin{aligned} (\alpha+\beta)+\gamma^+&=(\alpha+\beta+\gamma)^+\\ &= (\alpha + (\beta + \gamma))^+\\ \end{aligned} \end{equation}$$

③当$\gamma$是无穷序数时，

$$（思路：sup \{(\alpha + \beta) + \xi | \xi \in \gamma\} = sup \{\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma\} \\由归纳假设： \\sup \{\alpha + (\beta + \xi) | \xi \in \gamma\} = sup \{\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma\}）$$

即证$sup \{\alpha + (\beta + \xi) | \xi \in \gamma\} = sup \{\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma\}$：

对任意$\xi \in sup \{\alpha + (\beta + \xi) | \xi \in \gamma\}$，(存在$\delta \in \gamma$使得$\xi \in \alpha + (\beta + \delta)$)

由$\delta \in \gamma$，得$\beta + \delta \in \beta + \gamma$，结合$\xi \in \alpha + (\beta + \delta)$，即得$\xi \in sup \{\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma\}$

另一方面，对任意$\xi \in sup \{\alpha + \xi | \xi \in \beta + \gamma\}$，(存在$\delta \in \beta + \gamma$使得$\xi \in \alpha + \delta$)

又因为$γ$为非零极限，$\delta \in \beta + \gamma = sup \{\beta + \varepsilon | \varepsilon \in \gamma\}$，(存在$\varepsilon \in \gamma$使得$\delta \in \beta + \varepsilon$)

由$\delta \in \beta + \varepsilon$得$\alpha + \delta \in \alpha + (\beta + \varepsilon)$，$ξ ∈ α + δ ∈ α + (β + ε)$，结合$\varepsilon \in \gamma$，即得$ξ ∈ sup \{α + (β + ξ) | ξ ∊ γ\}$。

（2）如果$\omega^2\leq\beta$，则$\omega+\beta=\beta$

令$ \beta=\omega^2+\alpha$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \omega+\beta=&\omega+\omega^2+\alpha\\ =&(1+\omega)\cdot\omega+\alpha\\ =&\omega^2+\alpha=\beta \end{aligned} \end{equation}$$

7、证明$(\omega\cdot 2)^2\ne\omega^{2}\cdot 2^2$

$$\begin{equation} \begin{aligned} (\omega\cdot2)^2 &=(\omega\cdot2)\cdot(\omega\cdot2)\\ &=(\omega+\omega)\cdot(\omega+\omega)\\ &=\omega\cdot2\cdot\omega\cdot2\\ &=\omega\cdot(2\cdot\omega)\cdot2&&序数乘法结合律\\ &=\omega\cdot\omega\cdot2\ne\omega^2\cdot2^2=\omega^2\cdot4 \end{aligned} \end{equation}$$

由于序数乘法结合律并不显然，这里将对其进行证明：

要证：$(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$

对$\gamma$进行超穷归纳，有归纳假设：$\forall x \in \gamma, (\alpha \cdot \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x)$。讨论$\gamma$

①当$\gamma = 0$时，$(\alpha\cdot\beta)\cdot 0=\alpha\cdot(\beta\cdot0)$显然成立

②当$\gamma$为后继序数时，

$$\begin{equation} \begin{aligned} (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma^+ &=\alpha\cdot\beta\cdot\gamma+\alpha\cdot\beta\\ &=\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)+\alpha\cdot\beta&归纳假设\\ &=\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma+\beta)&乘法分配律的一个实例\\ &=\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma^+) \end{aligned} \end{equation}$$

③当$\gamma$是无穷序数时，

$$(思路：sup \{(\alpha \cdot \beta) \cdot \xi | \xi \in \gamma\} = sup \{\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma\}\\ sup \{\alpha \cdot (\beta \cdot \xi) | \xi \in \gamma\} = sup \{\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma\})$$

对任意$ξ ∈ sup \{\alpha \cdot (\beta \cdot \xi) | \xi \in \gamma\}$，(存在$\delta \in \gamma$使得$\xi \in \alpha \cdot (\beta \cdot \delta)$)

由$\delta \in \gamma$，得$\beta \cdot \delta \in \beta \cdot \gamma$，结合$\xi \in \alpha \cdot (\beta \cdot \delta)$，即得$\xi \in sup \{\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma\}$

另一方面，对任意$\xi \in sup \{\alpha \cdot \xi | \xi \in \beta \cdot \gamma\}$，(存在$\delta \in \beta \cdot \gamma$使得$\xi \in \alpha \cdot \delta$)

又因为$\gamma$为非零极限，$\delta \in \beta \cdot \gamma = sup \{\beta \cdot \varepsilon | \varepsilon ∊ γ\}$，存在$\varepsilon \in \gamma$使得$\delta \in \beta \cdot \varepsilon$

由$\delta \in \beta \cdot \varepsilon$，$\alpha \cdot \delta \in \alpha \cdot (\beta \cdot \varepsilon)$

由“序数传递”，$\xi \in \alpha \cdot \delta \in \alpha \cdot (\beta \cdot \varepsilon)$，结合$\varepsilon \in \gamma$，即得$sup \{\alpha \cdot (\beta \cdot \xi) | \xi \in \gamma\}$

8、证明以下命题是选择公理的等价形式

$$\forall x\exists \alpha\in O_n\exists f(f是函数\wedge x\subset dom(f)=\alpha\wedge x\subset ran(f))$$

$AC\rightarrow $本命题

对于序数$\alpha= dom(f)$，定义$f(\alpha)=\{\beta\in ran (f)|(\alpha,\beta)\in f\}$，可知$f(\alpha)$是非空的

此时存在$g:dom(f)\rightarrow ran(f)$使得$g(\alpha)\in f(\alpha)$

易知

①$g$是函数

②函数$g$的任意$x\subset dom(f)=\alpha$，因为$dom (g)=dom (f)$

③函数$g$的任意$x\subset ran(f)$，因为$(\alpha,\beta)$可写作$\{\{\alpha\},\{\alpha,\beta\}\}$，又因为$\beta\in ran (f)$，所以$\beta \subseteq \alpha$

又因为良序集基本定理，可得函数$g$的任意$x\subset ran(f)$

本命题$\rightarrow AC$

对集合族$A$（$A$的元素为序数），有$\emptyset\notin A$，定义$A^{‘}=A\cup(\cup A)=\{\alpha|\{\alpha\in A或存在\beta使得\alpha\in \beta\in A\}$

定义$A^{‘}$上的二元关系$\varphi(\alpha,\beta)$当且仅当$\beta\in \alpha\in A$

则存在函数$f$满足$dom (f)=dom (\varphi)$并且$f$是$\varphi$的子集，此时$dom (f)=A$并且$f(\alpha)\in \alpha$

以上的构造满足了$f$是函数，$x\subset dom(f)=a$，$x\subset ran(f)$

并且满足了$f$是$A$上的选择函数，证毕

附：一篇有趣的文章

http://zhblog.engic.org/20141003-015609/

这篇文章模仿GEB，同过阿基里斯与乌龟的对话来讲述序数（还有基数）